Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)B（0，-1），且其右焦點(diǎn)到直線x-y+2

2

=0的距離為3．設(shè)一直線過(guò)定點(diǎn)Q（

3

m，m）m∈R，與橢圓恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出b=1，

|c+2 2 |

2

=3，求出橢圓的方程，利用直線過(guò)定點(diǎn)Q（

3

m，m）m∈R，與橢圓恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可得Q在橢圓的內(nèi)部，即可求實(shí)數(shù)m的范圍．

解答： 解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，-1），
∴b=1，
∵右焦點(diǎn)Q到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
設(shè)Q（c，0）（c＞0），∴

|c+2 2 |

2

=3，解得c=

2

，
∴a²=b²+c²=3，
∴橢圓的方程：

x2

3

+y²=1．
∵直線過(guò)定點(diǎn)Q（

3

m，m）m∈R，與橢圓恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴Q在橢圓的內(nèi)部，
∴2m²＜1，
∴-

2

2

＜m＜

2

2

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．