Question

已知⊙C：x²+y²=r²（r＞0）和點(diǎn)P（a，b）．
（1）若點(diǎn)P在⊙C上，求過(guò)點(diǎn)P且與⊙C相切的直線(xiàn)方程；
（2）若點(diǎn)P在⊙C內(nèi)，過(guò)P作直線(xiàn)l交⊙C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作⊙C的切線(xiàn)，當(dāng)兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)Q時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,直線(xiàn)與圓

分析：（1）點(diǎn)在圓上，找出圓心坐標(biāo)，求出圓心與此點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，確定出切線(xiàn)的斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），因?yàn)锳Q與圓C相切，所以AQ⊥CA，所以（x₁-x₀）（x₁-0）+
（y₁-y₀）（y₁-0）=0，因?yàn)閤₁²+y₁²=r²，所以x₀x₁+y₀y₁=r²，同理x₀x₂+y₀y₂=r²．所以過(guò)點(diǎn)A，B的直線(xiàn)方程為xx₀+yy₀=r²．再由直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)P（a，b），代入即可得到Q的軌跡方程．

解答： 解：（1）點(diǎn)P（a，b）在圓x²+y²-4x=0上，
將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：a²+b²=r²，
∴圓心（0，0），半徑為：r，
∵（a，b）與（0，0）連線(xiàn)的斜率為

b

a

，
∴切線(xiàn)的斜率為-

a

b

，
則切線(xiàn)方程為y-b=-

a

b

（x-a），即ax+by-r²=0．
過(guò)點(diǎn)P且與⊙C相切的直線(xiàn)方程：ax+by-r²=0；
（2）圓C：x²+y²=r²的圓心C為（0，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
因?yàn)锳Q與圓C相切，所以AQ⊥CA．  
所以（x₁-x₀）（x₁-0）+（y₁-y₀）（y₁-0）=0，
即x₁²-x₀x₁+y₁²-y₀y₁=0，
因?yàn)閤₁²+y₁²=r²，
所以x₀x₁+y₀y₁=r²，
同理x₀x₂+y₀y₂=r²．
所以過(guò)點(diǎn)A，B的直線(xiàn)方程為xx₀+yy₀=r²．
因直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)（a，b）．
所以代入得ax₀+by₀=r²，
所以點(diǎn)Q的軌跡方程為：ax+by=r²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及圓的切線(xiàn)方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．