Question

已知函數(shù)f（x）=2x|x-4|，g（x）=

x2-a

x-1

，a＞0．
（1）求f（x）在區(qū)間[3，5]上的值域；
（2）若?x₁∈[3，5]，?x₂∈[3，5]，使f（x₁）=g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）化簡f（x）=2x|x-4|=

-2x2+8x，3≤x≤4 2x2-8x，4＜x≤5

，由二次函數(shù)的單調性可得f（x）的單調區(qū)間，從而求f（x）在區(qū)間[3，5]上的值域；
（2）由（1）知，?x₁∈[3，5]，?x₂∈[3，5]，使f（x₁）=g（x₂）可化為[0，10]⊆{g（x）|g（x）=

x2-a

x-1

，a＞0，x∈[3，5]}，從而可得[-2，8]⊆{（x-1）+

1-a

x-1

|a＞0，x∈[3，5]}，從而得到即

2+ 1-a 2 ≤-2 4+ 1-a 4 ≥8

，從而求解．

解答： 解：（1）：f（x）=2x|x-4|=

-2x2+8x，3≤x≤4 2x2-8x，4＜x≤5

，
故f（x）在[3，4]上單調遞減，在[4，5]上單調遞增，
則0≤f（x）≤2×5×1=10；
故f（x）在區(qū)間[3，5]上的值域為[0，10]；
（2）∵f（x）在區(qū)間[3，5]上的值域為[0，10]，
∴?x₁∈[3，5]，?x₂∈[3，5]，使f（x₁）=g（x₂）可化為
[0，10]⊆{g（x）|g（x）=

x2-a

x-1

，a＞0，x∈[3，5]}，
∵g（x）=

x2-a

x-1

=（x-1）+

1-a

x-1

+2，
∴[-2，8]⊆{（x-1）+

1-a

x-1

|a＞0，x∈[3，5]}；
則1-a＜0，即a＞1，
且當a＞1時，h（x）=（x-1）+

1-a

x-1

在[3，5]上是增函數(shù)，
則上式可化為h（3）≤-2且h（5）≥8；
即

2+ 1-a 2 ≤-2 4+ 1-a 4 ≥8

，
不等式組無解．
故不存在實數(shù)a．

點評：本題考查了分段函數(shù)的值域的求法及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．