已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an+1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．

(Ⅰ)設(shè)bn＝an+1－an(n∈N*)，證明{bn}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對(duì)任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項(xiàng)．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：由題設(shè)，得

　　，

　　即．

　　又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．

　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，

　　，

　　，

　　……

　　．

　　將以上各式相加，得．所以當(dāng)時(shí)，

　　

　　上式對(duì)顯然成立．

　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．

　　由可得，由得

　　，　�、�

　　整理得，解得或(舍去)．于是

　　．

　　另一方面，

　　，

　　．

　　由①可得

　　．

　　所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．

　　本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn與
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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