Question

【題目】已知函數(shù) 有一個(gè)零點(diǎn)為4，且滿足.

（1）求實(shí)數(shù)和的值；

（2）試問：是否存在這樣的定值，使得當(dāng)變化時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線互相平行？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析；(3)當(dāng)或時(shí)， 在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 在有一個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)b,c的方程組，求解方程組可得；

(2)假設(shè)存在滿足題意，結(jié)合題意可知是一個(gè)與無關(guān)的定值，據(jù)此可得，平行直線的斜率為；

(3)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)或時(shí)， 在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 在有一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：

（1）由題意，解得；

（2）由（1）可知 ，

∴；

假設(shè)存在滿足題意，則是一個(gè)與無關(guān)的定值，

即是一個(gè)與無關(guān)的定值，

則，即，平行直線的斜率為；

（3） ，

∴，

其中 ，

設(shè)兩根為和，考察在上的單調(diào)性，如下表

1°當(dāng)時(shí)， ， ，而，

∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在有兩個(gè)零點(diǎn)；

2°當(dāng)時(shí)， ， ，而，

∴僅在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)；

3°當(dāng)時(shí)， ，且，

①當(dāng)時(shí)， ，則在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，

即在有兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)， ，則僅在上有一個(gè)零點(diǎn)，

即在有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上：當(dāng)或時(shí)， 在有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在有一個(gè)零點(diǎn).