Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以M（﹣1，0）為圓心的圓與直線 相切．
（1）求圓M的方程；
（2）過點（0，3）的直線l被圓M截得的弦長為 ，求直線l的方程．
（3）已知A（﹣2，0），B（2，0），圓M內的動點P滿足|PA||PB|=|PO|2 ， 求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，圓M的半徑r等于圓心M（﹣1，0）到直線 的距離，

即 ，∴圓M的方程為（x+1）2+y2=4

（2）解：當斜率存在時，設直線方程l：y=kx+3，則圓心到直線的距離 ，

∴ ，直線方程l：4x﹣3y+9=0

當直線斜率不存在時，則l：x=0，經(jīng)檢驗滿足條件

綜上，直線方程l：4x﹣3y+9=0或x=0

（3）解：設P（x，y），由|PA||PB|=|PO|2，

得 ，即x2﹣y2=2．

∴ ．

∵點P在圓M內，∴（x+1）2+y2＜4，∴0≤y2＜4，∴﹣1≤y2﹣1＜3．

∴ 的取值范圍為[﹣2，6）

【解析】（1）由直線與圓相切，得到圓心到切線的距離d等于半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心M到已知直線的距離d，即為圓M的半徑，寫出圓M方程即可；（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線l的方程；（3）設P（x，y），利用兩點間的距離公式化簡已知的等式，整理后得到x與y的關系式，再表示出兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算所求的式子，將表示出的關系式代入得到關于y的式子，由P在圓M內部，得到P與圓心M的距離小于半徑列出不等式，即可求出所求式子的范圍．