Question

【題目】給定橢圓C： =1（a＞b＞0）．設(shè)t＞0，過點(diǎn)T（0，t）斜率為k的 直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）用a，b，k，t表示△OMN的面積S，并說明k，t應(yīng)滿足的條件；
（Ⅱ）當(dāng)k變化時(shí)，求S的最大值g（t）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)l方程為y=kx+t， 將l方程代入C方程整理得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）=0；
△=4a4k2t2﹣4a2（t2﹣b2）（b2+a2k2）=4a2b2（b2+a2k2﹣t2）．
由△＞0得k，t應(yīng)滿足的條件為 b2+a2k2﹣t2＞0，
= = ．
所以 ，其中b2+a2k2＞t2
（Ⅱ） = ．
當(dāng) ，即 ，取 ，有 ，得 ．
當(dāng) ，即 ，b2+a2k2＞2t2 ， 有 ，
取k=0，得 ．
所以，當(dāng)k變化時(shí)，S的最大值g（t）=
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)l方程為y=kx+t，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）=0；由根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系表示|OT|和|xM﹣xN|，進(jìn)而由三角形面積公式計(jì)算可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S的表達(dá)式，分 與 兩種情況討論，分析S的最大值，綜合即可得答案．