考點(diǎn):函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:設(shè)A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(x,y),則M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)=(|
|+|
|)+(|
|+|
|),再用不等式|
|+|
|≥|
+|求最小值.
解答:
設(shè)A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(x,y),
則M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|
=(|PA|+|PC|)+(|PB|+|PD|)
=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)
=(|
|+|
|)+(|
|+|
|)
≥|
+
|+|
+
|
=|
|+|
|
而
=(1,1)-(0,0)=(1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1)
∴|
|=
=、|
|=
=∴|
|+|
|=
+
=2
,
∴M
≥,
當(dāng)
與
同向,
與
同向時取等號,設(shè)
=λ
,
=μ
,
代入坐標(biāo)得1-x=λx,1-y=λy,-x=μx-μ,1-y=μy,解得λ=μ=1,x=y=
.
所以,當(dāng)x=y=
時,M的最小值為2
.
點(diǎn)評:本題主要考查平面向量的運(yùn)用,長度可以看做向量的模是解題的關(guān)鍵.