Question

已知命題p：“對(duì)任意x∈（0，1），

1

2

x2-lnx-a≥0”，命題q：“存在x∈R，x²+2ax-8-6a=0”，若“p且q”為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由p且q為真可得p為真命題，q為真命題，分別求它們?yōu)檎鏁r(shí)的條件，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵“p且q”為真，
∴p為真命題，q為真命題．
由p真，得：a≤

1

2

x2-lnx在x∈（0，1）恒成立，
設(shè)函數(shù)f(x)=

1

2

x2-lnx，則f′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

，
令f′（x）≥0，得x≥1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(1)=

1

2

，從而：a≤

1

2

，
由q真，得：△=4a²+4（6a+8）≥0，
即：a²+6a+8≥0，∴a≥-2或a≤-4，
綜上：-2≤a≤

1

2

或a≤-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合命題的真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．