Question

已知等差數(shù)列{a_n}，a₃=5，a₁+a₂=4．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=1-

1

2

b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=

1

2

a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；再利用當(dāng)n=1時(shí)，有b₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，有b_n=S_n-S_n-1，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d由a₃=5，a₁+a₂=4，
從而a₁=1、d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
又當(dāng)n=1時(shí)，有b₁=S₁=1-

1

2

 b₁，∴b₁=

2

3

．
當(dāng)n≥2時(shí)，有b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），
∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2）．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=

2

3

，q=

1

3

，
∴b_n=b₁q^n-1=

2

3n

．
（2）由（1）知：cn=

1

2

anbn=

2n-1

3n

，
∴Tn=c1+c2+…+cn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，
∴

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n+1

，
∴

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2n-3

3n

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

1

3n

-

2n-1

3n+1

，
∴Tn=1-

n+1

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．