Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，若對(duì)任意的x∈R，不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-

  1

  4

  ]
• B、（-∞，-

  1

  4

  ]∪[1，+∞）
• C、[1，+∞）
• D、[-

  1

  4

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出分段函數(shù)的最大值，把不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立轉(zhuǎn)化為m²-

3

4

m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，
當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-（x-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=log

1

3

x＜0．
則函數(shù)f（x）的最大值為

1

4

．
則要使不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立，
則m²-

3

4

m≥

1

4

恒成立，即m≤-

1

4

或m≥1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，訓(xùn)練了分段函數(shù)的最值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查運(yùn)算能力，是中檔題．