Question

已知函數(shù)φ（x）=1n（x+1）+mx，函數(shù)f（x）=

1+1nx

x

(x≥1)．
（Ⅰ）若x=0時，函數(shù)φ（x）取得極大值，求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若規(guī)定n!=1•2•3…（n-1）•n，求證：2ln[（n+1）!]＞1n（n+1）+n-2（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導φ′（x）=

1

x+1

+m，代入求實數(shù)m的值，并檢驗；
（Ⅱ）不等式f（x）≥

k

x+1

可化為k≤

(x+1)(1+lnx)

x

；令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，化恒成立問題為最值問題；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）≥

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

＞1-

2

x

；令x=n（n+1），則lnn（n+1）＞1-

2

n(n+1)

；從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）φ′（x）=

1

x+1

+m，
由φ′（0）=1+m=0解得，m=-1；
經(jīng)檢驗，函數(shù)φ（x）在x=0處取得極大值．
（Ⅱ）不等式f（x）≥

k

x+1

可化為
k≤

(x+1)(1+lnx)

x

；
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
則g′（x）=

x-lnx

x2

；
令h（x）=x-lnx；
則h′（x）=1-

1

x

；
故h（x）在[1，+∞）上遞增，
則h（x）≥h（1）=1＞0；
則g（x）在[1，+∞）上遞增，
故g（x）≥g（1）=2；
故k≤2；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，f（x）≥

2

x+1

恒成立，
即lnx≥

x-1

x+1

＞1-

2

x

；
令x=n（n+1），則lnn（n+1）＞1-

2

n(n+1)

；
則ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，…，lnn（n+1）＞1-

2

n(n+1)

；
疊加得，2lnn!+ln（n+1）＞n-2；
2ln[（n+1）!]＞1n（n+1）+n-2（n∈N^*）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及不等式的證明及恒成立問題，屬于難題．