Question

已知f（x）=x²，過點C₁（1，0）作x軸的垂線l₁交函數(shù)f（x）的圖象于點A₁，以A₁為切點作函數(shù)f（x）圖象的切線交x軸于C₂，再過C₂作x軸的垂線l₂交函數(shù)f（x）的圖象于點A₂，…，依此類推得點A_n，記A_n的橫坐標為a_n（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出通項公式a_n；
（2）設點B_n（a_n，n-1），b_n=

OAn

•

OBn

（其中O為坐標原點），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知f（x）=x²圖象上的點A_n（a_n，an2）的切線交x軸于C_n+1（a_n+1，0），切線為y-an2=2an(x-an)，將C_n+1（a_n+1，0）代入方程，得{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從而an=(

1

2

)n-1．
（2）b_n=

OAn

•

OBn

=an2+(n-1)an2=nan2=n（

1

4

）^n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：由已知f（x）=x²圖象上的點A_n（a_n，an2）的切線交x軸于C_n+1（a_n+1，0），
∵kAn=2a_n，∴切線為y-an2=2an(x-an)，
將C_n+1（a_n+1，0）代入方程，整理得an+1=

1

2

an，
∴a₁=1，∴{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴an=(

1

2

)n-1．
（2）解：∵An(an，an2)，B_n（a_n，n-1），
∴b_n=

OAn

•

OBn

=an2+(n-1)an2=nan2=n（

1

4

）^n-1，
S_n=1•(

1

4

)0+2•(

1

4

)+3•(

1

4

)2+…+n•(

1

4

)n-1，

1

4

Sn=1•(

1

4

)+2•(

1

4

)2+…+n•(

1

4

)n，
相減，得

3

4

Sn=1+

1

4

+(

1

4

)2+…+(

1

4

)n-1-n•(

1

4

)n
=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-n•（

1

4

）ⁿ
=

4

3

-

4

3

(

1

4

)n-n(

1

4

)n，
∴S_n=

16

9

-

3n+4

9•4n-1

．

點評：本題考查數(shù)列為等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．