Question

已知

1+sinθ+cosθ

1+sinθ-cosθ

=

1

2

，則sin2θ+2cos²θ=（　　）

• A、

  4

  3

• B、-

  4

  3

• C、-

  6

  25

• D、

  6

  25

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：把條件里的sinθ轉(zhuǎn)化為cosθ消去，故利用已知條件解出sinθ，兩邊平方再根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡可得到關(guān)于cosθ的一元二次方程，求出方程的解求出cosθ，原式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：由已知變形為2+2sinθ+2cosθ=1+sinθ-cosθ，解得sinθ=-1-3cosθ；
兩邊平方得：sin²θ=1-cos²θ=（-1-3cosθ）²，
化簡得：5cos²θ+3cosθ=0，即cosθ（5cosθ+3）=0，
由題知cosθ≠0，
∴5cosθ+3=0，即cosθ=-

3

5

，
∴sinθ=-1+

9

5

=

4

5

，
則原式=2sinθcosθ+2cos²θ=-

24

5

+

18

25

=-

6

25

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．