Question

20．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，沿平面A₁ACC₁將正方體分成兩部分，其中一部分如圖所示，過直線A₁C的平面A₁CM與線段BB₁交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）當(dāng)M與B₁重合時(shí)，求證：MC⊥AC₁；
（Ⅱ）當(dāng)平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁時(shí)，求平面A₁CM與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接C₁B，推導(dǎo)出AB⊥B₁C，BC⊥AC₁，由此能證明MC⊥AC₁．
（Ⅱ）分別以CB、AB、BB₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能出平面A₁CM與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接C₁B，在正方形B₁BCC₁中，BC₁⊥B₁C，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面B₁BCC₁，
B₁C∈平面B₁BCC₁，∴AB⊥B₁C，
∴B₁C⊥平面ABC₁，∴BC⊥AC₁，
∴MC⊥AC₁．-------------（4分）
解：（Ⅱ）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CB、AB、BB₁兩兩垂直，
分別以CB、AB、BB₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=a，則C（-a，0，0），A₁（0，-a，a），
設(shè)M（0，0，z），則$\overrightarrow{C{A_1}}=（a，-a，a）$，$\overrightarrow{CM}=（a，0，z）$，
設(shè)平面A₁MC的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{C{A_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{a{x_1}-a{y_1}+a{z_1}=0}\\{a{x_1}+z{z_1}=0}\end{array}}\right.$，令z₁=a，得$\overrightarrow{n_1}=（-z，a-z，a）$，
平面A₁ACC₁的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（1，1，0）$，
平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n_3}=（0，0，1）$，
∵平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁，
∴$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_1}=0$，得$z=\frac{1}{2}a$，∴$\overrightarrow{n_1}=（-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，a）$，--------（8分）
設(shè)平面A₁CM與平面ABC所成銳二面角為θ，
則$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_3}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_3}}|}}=\frac{a}{{1•\frac{{\sqrt{6}}}{2}a}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故平面A₁CM與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．-------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．