Question

11．函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1的最大值為$\frac{1}{2e}+1$．

Answer 1

分析 求出f′（x）=$\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1的最大值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1，
∴x∈R，f′（x）=$\frac{{e}^{2x}-2x{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，
由f′（x）=0，得1-2x=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}，+∞$）時(shí)，f′（x）＜0，
∴x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1取最大值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}}{{e}^{2×\frac{1}{2}}}$+1=$\frac{1}{2e}+1$．
故答案為：$\frac{1}{2e}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．