Question

7．如圖：將直角三角形PAO，繞直角邊PO旋轉構成圓錐，ABCD是⊙O的內接矩形，M為是母線PA的中點，PA=2AO．
（1）求證：PC∥面MBD；
（2）當AM=CD=2時，求點B到平面MCD的距離．

Answer 1

分析 （1）連接BD，AC相交于圓心O，連接MO，根據線面平行的判定定理即可證明，
（2）根據條件先求出V_M-BCD=2，再求出S_△AMD，設B到平面MCD的距離為h，得到$\frac{1}{3}$×S_△DCM•h=V_M-BCD=2，解得即可．

解答 解：（1）∵ABCD是⊙O的內接矩形，連接BD，AC相交于圓心O，連接MO，
∵M為是母線PA的中點，
∴PC∥MO，
∵PC?平面MBD，MO?MBD，
∴PC∥平面MBD，
（2）∵AM=CD=2，
∴PA=4，
∴AO=CO=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴PO=2$\sqrt{3}$=CM，
∴V_M-BCD=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=2，
∴△CDM≌△AMD，
在△PAD中，PD=PA=4，AD=2$\sqrt{3}$，
根據余弦定理可得cos∠PAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴sin∠PAD=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴S_△AMD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2×$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
設B到平面MCD的距離為h，
∴$\frac{1}{3}$×S_△DCM•h=V_M-BCD=2，
∴h=$\frac{4\sqrt{39}}{13}$
∴點B到平面MCD的距離$\frac{4\sqrt{39}}{13}$

點評 本題考查了線面平行的判定定理和三棱錐的體積公式，考查了點到平面的距離，計算量比較大，屬于中檔題．