Question

（2008•浦東新區(qū)二模）已知函數(shù)f （x ）=

x+a

x+2

（a為常數(shù)）．
（1）解不等式f（x-2）＞0；
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f （x）的值域?yàn)閇

5

4

，2]，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)表達(dá)式，將x-2代入，變成關(guān)于x的分式不等式，再通過(guò)討論字母a的取值范圍，可以得出解集的三種不同情形；
（2）在（1）的結(jié)論下，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別解不等式組：

f(-1)=2 f(2)= 5 4

或

f(2)=2 f(-1)= 5 4

，再通過(guò)解出的a值看符不符合大前提，最終可以得出滿足條件的a值．

解答：解：（1）f(x-2)=

x-(2-a)

x

＞0
當(dāng)2-a＞0，即a＜2時(shí)，不等式的解為：x＜0或x＞2-a------------------------（2分）
當(dāng)2-a=0，即a=2時(shí)，不等式的解為：x≠0且x∈R-------------------------（4分）
當(dāng)2-a＜0，即a＞2時(shí)，不等式的解為：x＜2-a或x＞0-----------------------（6分）
（2）f(x)=

x+a

x+2

=1+

a-2

x+2

-----------------------------------------------------（7分）
①a＞2時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，-------------（8分），
所以

-1+a -1+2 =2 2+a 2+2 = 5 4

⇒a=3------（10分）
②a=2時(shí)，不符合題意----------------------------------------------------------------------（11分）
③a＜2時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，-----------（12分），所以

-1+a -1+2 = 5 4 2+a 2+2 =2

⇒a無(wú)解------（14分）
所以，a=3

點(diǎn)評(píng)：本題以一次分式函數(shù)為載體，考查了函數(shù)最值的應(yīng)用，屬于難題．根據(jù)字母參數(shù)的取值，合理地進(jìn)行分類討論，從而找出問(wèn)題的解答，討論時(shí)應(yīng)注意相應(yīng)的大前提．