Question

已知函數(shù)g（x）=-x²+m，x∈（0，+∞），若存在[a，b]⊆（0，+∞），使得g（x）的值域也是[a，b]，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,子集與真子集

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)g（x）=-x²+m在x∈（0，+∞）上為減函數(shù)，可得

g(a)=b g(b)=a

，消去m的到a，b的關(guān)系，把b用含有a的代數(shù)式表示，代入g（a）=b，由0＜a＜b求出a的范圍，再由關(guān)于a的方程在范圍內(nèi)有解列式求得m的范圍．

解答： 解：函數(shù)g（x）=-x²+m為（0，+∞）上的減函數(shù)，
若存在[a，b]⊆（0，+∞），使得g（x）的值域也是[a，b]，
則

g(a)=b g(b)=a

，即

-a2+m=b -b2+m=a

，
消去m得：b=1-a，代入-a²+m=b，得a²-a+1-m=0，
∵0＜a＜b，∴a＜

1

2

．
要使方程a²-a+1-m=0在（0，

1

2

）內(nèi)有解，
則

1-m＞0 ( 1 2 )2- 1 2 +1-m＜0

，解得：

3

4

＜m＜1．
∴m的取值范圍是（

3

4

，1）．
故答案為：（

3

4

，1）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的值域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．