Question

已知動圓過定點F（1，0），且與直線l：x=-1相切
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）過點M（1，2）作曲線C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)k₁，k₂變化且滿足k₁+k₂=-1時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，由題意列

(x-1)2+y2

=|x-(-1)|，整理后得到動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）由題意可知直線AB的斜率存在且不為零，可設(shè)AB的方程為x=my+a，和（1）中求得軌跡聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點的橫縱坐標(biāo)的和，結(jié)合k₁+k₂=-1求得直線方程，由線系方程得答案．

解答： 解：（1）設(shè)圓心P（x，y），則由題意得

(x-1)2+y2

=|x-(-1)|，
化簡得y²=4x，即動圓圓心的軌跡C的方程為y²=4x；
（2）由題意可知直線AB的斜率存在且不為零，可設(shè)AB的方程為x=my+a，
并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立：

y2=4x x=my+a

，
代入整理得y²-4my-4a=0，
從而有y₁+y₂=4m  ①，
y₁y₂=-4a  ②，
又k₁+k₂=-1，即

y1-2

x1-2

+

y2-2

x2-2

=-1，

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
∴

y1-2

y12 4 -1

+

y2-2

y22 4 -1

=-1．
∴

4

y1+2

+

4

y2+2

=-1，則-（y₁+2）（y₂+2）=4（y₁+y₂+4），
展開即得y₁y₂+6（y₁+y₂）+20=0，
將①②代入得a=6m+5，
得AB：x=my+6m+5．
故直線AB經(jīng)過（5，-6）這個定點．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．