Question

已知雙曲線的右定點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B，且與一條漸近線交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，又OA=2OB，OA•OC=2，過點(diǎn)F的直線與雙曲線右交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）證明：B、P、N三點(diǎn)共線；
（3）求△BMN面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意得A（a，0），B（，又⇒…①．，由題設(shè)知⇒
聯(lián)立①、②，得a=2，c=4．由此可得雙曲線的方程．
（II）由題設(shè)得點(diǎn)B（1，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)直線l的方程為x=ty+4，由⇒（3t²-1）y²+24ty+36=0，由此入手可證出B、P、N三點(diǎn)共線．
（III）由題意知x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16=，所以
=，由此能求出△BMN面積的最小值．
解答：解：（I）由題意得A（a，0），B（，又⇒…①
由⇒⇒
聯(lián)立①、②，得a=2，c=4
∴雙曲線的方程為．

（II）由（I），得點(diǎn)B（1，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)直線l的方程為x=ty+4
由⇒（3t²-1）y²+24ty+36=0
∴
∵（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₂

∴向量與共線，∴B、P、N三點(diǎn)共線．

（III）∵直線l與雙曲線右支相交于M、N兩點(diǎn)
∴x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16
=⇒⇒
∴
=
令u=1-3t²，u∈（0，1]
∴=
由u∈（0，1]⇒
∴，即t=0時(shí)，△BMN面積最小值為18．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．