Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面. 若.
（1）求證：平面；
（2）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn) 的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）

解析試題分析：（1）由側(cè)面底面，PA⊥AD及面面垂直性質(zhì)定理得，PA⊥面ABCD，由線面垂直定義可得PA⊥CD，通過(guò)計(jì)算可證CD⊥AC，根據(jù)線面垂直判定定理可得CD⊥面PAC；（2）若E是PA中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，連結(jié)BE，EF，CF，由三角形中位線定理及平行公理可證四邊形BEFC為平行四邊形，則BE∥CF，根據(jù)線面平行的判定定理可得；（3）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，顯然是平面PAD的法向量，求出PCD的法向量，求出這兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，即可求出二面角A-PD—C的余弦值.
試題解析：（1）因?yàn)?，所以.
又因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，
所以底面.
而底面，
所以.
在底面中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/70/0a/7080ab514bbceace5836f24ed1a697df.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以 ， 所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f7/1e/f7f1e68cb7e04332f4b73e8cba56604e.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以平面.            4分

（2）在上存在中點(diǎn)，使得平面，
證明如下：設(shè)的中點(diǎn)是，
連結(jié)，，，
則，且.
由已知，
所以. 又，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/ec/2a9ec7b6d9ed468ed7cf44e2afdbcc37.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面.           8分
（3）由（1）知，PA⊥面ABCD，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則P（0，0，1），B(1,0,0)