Question

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”．下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. 函數(shù)存在“和諧區(qū)間”

B. 函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”

C. 函數(shù)存在“和諧區(qū)間”

D. 函數(shù) （且）不存在“和諧區(qū)間”

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：利用函數(shù)單調(diào)性的判別方法，逐個選項檢驗函數(shù)是否存在單調(diào)區(qū)間。若函數(shù)在上的值域是，則方程應(yīng)該有兩個根。

詳解： 對于選項A，存在區(qū)間[0,2]， 在上是單調(diào)增函數(shù)；②在上的值域是，故A正確；

對于選項B，假設(shè)存在區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

由在上的值域是，可得，

解得 ，這與矛盾，故假設(shè)錯誤，所以選項B正確；

對于選項C，由函數(shù)，可得

。

取區(qū)間，在此區(qū)間上，

所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)。

因為 成立，

所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.

所以選項C正確。

對于選項D，不妨設(shè),則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)。

若存在“和諧區(qū)間”，則由得，

所以是方程的兩個根，

即是方程的兩個根。

因為該方程有兩個正根，所以存在“和諧區(qū)間”。所以選項D錯。

所以選D。