平面上有n(n≥2)條拋物線,其中每?jī)蓷l都相交于兩點(diǎn),并且每三條都不相交于同一點(diǎn),試求這n條拋物線把平面分成多少個(gè)部分?

答案:
解析:

  解:當(dāng)n=2時(shí),兩條相交拋物線把平面分成5部分,記f(2)=5=22+1;

  當(dāng)n=3時(shí),f(3)=10=32+1;

  當(dāng)n=4時(shí),f(4)=17=42+1;

  當(dāng)n=5時(shí),f(5)=26=52+1;

  歸納猜想:f(n)=n2+1(n≥2).

  設(shè)n條拋物線將平面分成f(n)個(gè)部分;有(n+1)條拋物線時(shí),由于第n+1條拋物線與前n條拋物線共有2n個(gè)交點(diǎn),這2n個(gè)交點(diǎn)將第n+1條拋物線共分成2n+1段,而每一段都把原來(lái)所在的部分分成了兩部分,從而增加了2n+1個(gè)部分,

  ∴f(n+1)=f(n)+2n+1(n≥2).

  ∴f(3)=f(2)+5,

  f(4)=f(3)+7,

  f(5)=f(4)+9,

  ……

  f(n)=f(n-1)+2n-1.

  ∴f(n)=5+(5+7+9+…+2n-1)=n2+1.

  故滿足題意的n條拋物線將平面分成n2+1個(gè)部分.


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