(12分)已知函數(shù),
,設
.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若以圖象上任意一點
為切點的切線的斜率
恒成立,求實數(shù)的最小值.
(3)是否存在實數(shù),使得函數(shù)
的圖象與
的圖
象恰好有四個不同的交點?若存在,求出的取值范圍,若不存在,說明理由.
(1)
(2).(3)
【解析】
試題分析:(1)由題意可知然后直接求導,利用導數(shù)大(小)于零求其單調(diào)增(減)區(qū)間即可.
(2) 圖象上任意一點
為切點的切線的斜率
恒成立,其實質(zhì)是恒成立.即
(3)解本小題的關鍵是的圖象與
的圖象恰有四個不同交點,即
有四個不同的根,
也就是有四個不同的根,然后再構造函數(shù)
利用導數(shù)研究G(x)的單調(diào)區(qū)間,極值,畫出草圖,從圖像上觀察直線y=m在什么范圍內(nèi)有四個不同的交點即可.
(1)
由.
(2)
當
.
(3)若的圖象與
的圖象恰有四個不同交點,
即有四個不同的根,亦即
有四個不同的根.
令,
則.
當變化時
的變化情況如下表:
|
|
-1 |
(-1,0) |
0 |
(0,1) |
1 |
(1, |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
極大值 |
↘ |
由表格知,
.
畫出草圖和驗證可知,當
時,
考點:導數(shù)在研究單調(diào)區(qū)間,極值,最值當中的應用.
點評:本大題綜合性難度大,解決好第(2)(3)問的關鍵在于轉化二字,第(2)問可以轉化為恒成立進一步轉化一元二次函數(shù)最值問題.第(3)問關鍵是
的圖象與
的圖象恰有四個不同交點轉化為
有四個不同的根,進一步轉化為
有四個不同的根,然后再構造函數(shù),利用導數(shù)研究極值最值,畫出圖像即可解決。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知函數(shù),
,設
.
(Ⅰ)當時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若以函數(shù)圖象上任意一點
為切點的切線斜率
恒成立,求實數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年北京市大興區(qū)高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)設,求
的最小值;
(Ⅱ)如何上下平移的圖象,使得
的圖象有公共點且在公共點處切線相同.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆廣東省等六校高三上學期第二次聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)設為函數(shù)
的極值點,求證:
;
(Ⅱ)若當時,
恒成立,求正整數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年江蘇省高一第二次學情調(diào)研數(shù)學卷 題型:解答題
(本題滿分15分)
已知函數(shù)其中
,
設.
(1)求函數(shù)的定義域,判斷
的奇偶性,并說明理由;
(2)若,求使
成立的
的集合
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