Question

若對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x），存在常數(shù)a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)，且階數(shù)為a．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x²是否是一個(gè)回旋函數(shù)；
（Ⅱ）已知f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，求實(shí)數(shù)ω的值；
（Ⅲ）若對(duì)任意一個(gè)階數(shù)為a的回旋函數(shù)f（x），方程f（x）=0均有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用回旋函數(shù)的定義，令x=0，則必須有a=0；令x=1，則有a²+3a+1=0，故可判斷；
（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函數(shù)，故有：sinw（x+a）+asinwx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，從而可求實(shí)數(shù)ω的值；
（Ⅲ）分類討論是關(guān)鍵．a(chǎn)=0時(shí)結(jié)論顯然；當(dāng)a≠0時(shí)先假設(shè)存在，利用回旋函數(shù)的定義，易得在區(qū)間（0，a）上必有一個(gè)實(shí)根．

解答：解：（Ⅰ）若（x+a）²+ax²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，令x=0，則必須有a=0
令x=1，則有a²+3a+1=0，顯然a=0不是這個(gè)方程的解故假設(shè)不成立，該函數(shù)不是回旋函數(shù)．
（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函數(shù)，故有：sinw（x+a）+asinwx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立
令x=0，可得sinwa=0，令x=

π

2

，可得coswa=-a，故a=±1，w=kπ（k為整數(shù)）
（Ⅲ）如果a=0，顯然f（x）=0，則顯然有實(shí)根．
下面考慮a≠0的情況．
若存在實(shí)根x₀，則f（x₀+a）+af（x₀）=0，即f（x₀+a）=0說(shuō)明實(shí)根如果存在，那么加a也是實(shí)根．因此在區(qū)間（0，a）上必有一個(gè)實(shí)根．則：f（0）f（a）＜0
由于f（0+a）+af（0）=0，則f（0）=

-f(a)

a

，只要a＞0，即可保證f（0）和f（a）異號(hào)．
綜上a≥0

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，關(guān)鍵是理解新定義，利用新定義時(shí)，應(yīng)注意賦值法的運(yùn)用