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20.已知函數(shù)fx=cosx3sinx3+3cosx3
(1)將f(x)寫成Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈({-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}))的形式,并寫出其最小正周期,圖象的對稱軸方程,奇偶性(不要證明);
(2)如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角為x,試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.

分析 將函數(shù)f(x)解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù),
(1)根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸為\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2},求出方程的解即可得到f(x)的對稱軸,
(2)利用余弦定理表示出cosx,將b2=ac代入并利用基本不等式化簡,求出cosx的范圍,利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出x的范圍;由x的范圍求出這個角的范圍,得出此時正弦函數(shù)的值域,即可得到f(x)的值域.

解答 解:(1)f(x)=cos\frac{x}{3}•(sin\frac{x}{3}+\sqrt{3}cos\frac{x}{3})
∴f(x)=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}(1+cos\frac{2x}{3})=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\frac{2x}{3}=sin(\frac{2x}{3}+\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2},
∴最小正周期\frac{2π}{\frac{2}{3}}=3π,
對稱軸\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2},即x=\frac{3kπ}{2}+\frac{π}{4},k∈Z,
既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),
(2)由已知b2=ac,cosx=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2},
\frac{1}{2}≤cosx<1,0<x≤\frac{π}{3},
\frac{π}{3}\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}\frac{5π}{9}
\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin(\frac{2x}{3}+\frac{π}{3})≤1,
\sqrt{3}≤sin(\frac{2x}{3}+\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}≤1+\frac{\sqrt{3}}{2}
即f(x)的值域?yàn)?({\sqrt{3},1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}], 所以,x∈({0,\frac{π}{3}}],f(x)值域?yàn)?({\sqrt{3},1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]

點(diǎn)評 此題屬于解三角形題型,涉及的知識有:兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的對稱性,以及正弦函數(shù)的定義域和值域,其中利用三角形函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

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①當(dāng)x>1時,甲走在最前面;
②當(dāng)x>1時,乙走在最前面;
③當(dāng)0<x<1時,丁走在最前面,當(dāng)x>1時,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它們一直運(yùn)動下去,最終走在最前面的是甲
其中,不正確的序號為( �。�
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