Question

【題目】已知f（x）=1﹣ ．
（1）求證：f（x）是定義域內的增函數(shù)；
（2）當x∈[0，1]時，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）=1﹣ ．

∴f′（x）= ．

在定義域R上，f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是定義域R上的增函數(shù)

（2）解：由（1）可得當x∈[0，1]時，f（x）為增函數(shù)，

故當x=0時，f（x）取最小值0，

當x=1時，f（x）取最大值 ，

即當x∈[0，1]時，求f（x）值域為[0， ]

【解析】（1）求導，根據(jù)在定義域R上，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定義域R上的增函數(shù)；（2）由（1）可得當x∈[0，1]時，f（x）為增函數(shù)，求出函數(shù)的最值，可得函數(shù)的值域．
【考點精析】掌握函數(shù)的值域和函數(shù)單調性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．