Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，設(shè)平面PAD∩平面PBC=l．
（Ⅰ）求證：l∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：PB⊥BC．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵BC平面PAD，AD平面PAD，AD∥BC，

∴BC∥平面PAD

又BC平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，

∴BC∥l．

又∵l平面ABCD，BC平面ABCD，

∴l(xiāng)∥平面ABCD．

（Ⅱ）取AD中點O，連OP、OB，

由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又∵OP∩OB=O，

∴AD⊥平面POB，

∵BC∥AD，

∴BC⊥平面POB，

∵PB平面POB，

∴BC⊥PB．

【解析】（Ⅰ）由已知利用線面平行的判定可證BC∥平面PAD，利用線面平行的性質(zhì)可證BC∥l，進而利用線面平行的判定證明l∥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中點O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，利用線面垂直的判定可證AD⊥平面POB，由BC∥AD，可證BC⊥平面POB，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明BC⊥PB．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．