Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，若 E為PC的中點，且BE與平面PDC所成的角的正弦值為

2 5

5

，
（1）求CD的長
（2）求證BC⊥平面PBD
（3）設Q為側(cè)棱PC上一點，

PQ

=λ

PC

，試確定λ的值，使得二面角Q-BD-P的大小為45°．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（1）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系D-xyz．由已知條件利用向量法能求出CD的長．
（2）由題設條件推導出PD⊥BC，

BC

•

BD

=0，

BC

•

BP

=0，由此能證明BC⊥平面PBD．
（3）分別求出平面PBD的一個法向量和平面QBD的一個法向量，由二面角Q-BD-P的大小為45°，利用向量法能求出λ的值．

解答： 解：（1）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD．∵∠ADC=90°，
∴如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系D-xyz．
∵AB=AD=PD=1，E為PC的中點，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1）．
設CD=t，則C（0，t，0），E（0，

t

2

，

1

2

），
∴

BE

=(-1，

t

2

-1，

1

2

)，
面PDC的法向量為

n

=（1，0，0），
∵BE與平面PDC所成的角的正弦值為

2 5

5

，
∴|cos＜

BE

，

n

＞|=|

-1

1× 1+( t 2 -1)2+ 1 4

|=

2 5

5

，
解得t=2．∴CD的長是2．（4分）
（2）又∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，又∵PD∩BD=D，
∵

BC

=(-1，1，0)，

BD

=(-1，-1，0)，

BP

=(-1，-1，1)，
∴

BC

•

BD

=0，

BC

•

BP

=0，
∴BC⊥BD，BC⊥BP，
∵BD∩BP=B，
∴BC⊥平面PBD．（6分）
（3）∵BC⊥平面PBD，∴平面PBD的一個法向量為

BC

=（-1，1，0），
∵

PC

=（0，2，-1），

PQ

=λ

PC

，λ∈（0，1），∴Q（0，2λ，1-λ），
設平面QBD的一個法向量為

n

=（a，b，c），
∵

DB

=（1，1，0），

DQ

=（0，2λ，1-λ），

n

•

DB

=0，

n

•

DQ

=0，
∴

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，取b=1，∴

n

=（-1，1，

2λ

λ-1

），（8分）
∵二面角Q-BD-P的大小為45°，
∴cos45°=|cos＜

n

，

BC

＞|=|

1+1+0

2 • 2+( 2λ λ-1 )2

|=

2

2

．
∵λ∈（0，1），∴λ=

2

-1．（12分 ）．

點評：本題考查線段長的求法，考查直線與平面垂直的證明，考查滿足二面角條件的參數(shù)的確定，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．