Question

在三棱錐P-ABC中，側棱長均為

97

2

，底邊AC=4，AB=2，BC=2

3

，D、E分別為PC、BC的中點．
（Ⅰ）求三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅱ）求二面角C-DA-E的平面角．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間向量及應用

分析：（Ⅰ）求出三棱錐P-ABC的底面積和高，即可求出三棱錐的體積；
（Ⅱ）根據二面角的定義或者利用向量法即可求二面角C-DA-E的平面角．

解答：  解：證明：（Ⅰ）取AC的中點O，連接OP，OB（圖1），（1分）
易得：OP⊥0A，OP=

CP2-OC2

=

97 4 -4

=

9

2

…（2分）
∵AC=4，AB=2，BC=2

3

，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC為直角三角形，
即OB=OC=2．
∴PB²=OB²+OP²，即OP⊥OB．…（4分）
又∵AC∩BO=O，且AC，0B?面ABC，
∴OP⊥平面ABC…（5分）
三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

•OP•

1

2

AB•BC=3

3

．…（6分）
（Ⅱ）法一：（圖2）作EG⊥AC，GH⊥DF于G，H點，連接EH，
∵OP平面ABC，EG?平面ABC，EG⊥OP         …（7分）
又AC∩OP=O，且AC，0P?面PAC，
∴EG⊥平面PAC．
∵DA?平面PAC，
∴DA⊥EG         …（8分）
又EG∩GH=G，且EG，GH?面EGH，
∴DA⊥平面EGH…（9分）
∵EH?面EGH，
∴EH⊥DA…（10分）
∴∠EHG為二面角C-DF-E的平面角．…（11分）
∵EG=CEsin30°=

3

2

，CG=CEcos30°=

3

2

，AG=

5

2

，
由（Ⅰ）知OP=

9

2

，
∴AD=

( 1 2 OP)2+( 3 4 AC)2

=

81 16 +9

=

15

4

．
∴S△DAG=

1

2

×

1

2

OP•AG=

1

2

GH

1

2

•DA，
∴GH=

3

2

，
∴tan∠EHG=

3

3

，
∴∠EHG=

π

6

…（14分）
法二：以O為原點，以OC，OP為y，z軸建系，則D（0，1，

9

4

），E（

3

2

，

1

2

，0），A（0，-2，0），（8分）
設

n

=（1，y，z）為平面DEA的法向量，則有

n • DE =(1，y，z)•( 3 2 ，- 1 2 ，- 9 4 )=0 n • DA =(1，y，z)•(0，-3，- 9 4 )=0

，
即

3 2 - 1 2 y- 9 4 z=0 -3y- 9 4 z=0

…（11分）
∴y=-

3

5

，z=

4 3

15

                                …（12分）
又∵

OP

=(

9

2

，0，0)為平面DEA的法向量，
∴cos?θ=

| OP ? n |

| OP || n |

=

9 2

9 2 ? 1+ 3 25 + 16 75

=

3

2

，
二面角C-DA-E的平面角為

π

6

．…（14分）

點評：本題主要考查空間幾何體的體積計算，以及空間二面角的計算，綜合考查學生的計算能力．