Question

已知函數f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）（a＞0，且a≠1），當x∈[-1，1]時，f（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：由函數單調性的定義得到函數在[-1，1]上為增函數，然后求得f（-1）的值得答案．

解答： 解：設-1≤x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1ax2

)
=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)．
若a＞1，

a

a2-1

＞0，ax1＜ax2，1+

1

ax1ax2

＞0，
此時f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
f（x）在[-1，1]上為增函數，
若0＜a＜1，

a

a2-1

＜0，ax1＞ax2，1+

1

ax1ax2

＞0，
此時f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
f（x）在[-1，1]上為增函數，
綜上，對于a＞0，且a≠1，當x∈[-1，1]時，f（x）為增函數．
∴當x∈[-1，1]時，要使f（x）≥b恒成立，
則b≤f(-1)=

a

a2-1

(a-1-a)=-1．
∴b的取值范圍是（-∞，-1）．

點評：本題考查恒成立問題，考查了函數的性質，訓練了分類討論的數學思想方法，是中檔題．