Question

【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線，直線與拋物線交于，若．

（1）拋物線的方程；

（2）若經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據(jù)題意可得直線的方程為，再根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合，即可求出；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在求出，當(dāng)直線的斜率存在，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，根據(jù)，得出點(diǎn)在線段的中垂線上，求得的值，即可求出直線方程

（1）依題意：，則直線的方程為，

由，消可得，

設(shè)，則，

∴，∴，

故拋物線的方程為．

（2）若經(jīng)過(guò)的直線的斜率不存在，此時(shí)直線與拋物線交于，則關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，滿足，即直線滿足題意．

若經(jīng)過(guò)的直線的斜率存在，設(shè)它為，則．

由，消可得

設(shè)，則，

∴，∴，

∵，∴點(diǎn)在線段的中垂線上，

即線段的中垂線為：，

即，即

所以直線的方程為即．

故直線的方程為或．