如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且
DC
=2
BD

（1）用向量
AB
，
AC
表示向量
AD
；
（2）若|
AB
|：|
AD
|：|
AC
|=3：k：1，求實數(shù)k的取值范圍．
考點：向量加減混合運算及其幾何意義
專題：平面向量及應用
分析：（1）利用向量的三角形法則可得
BD
=
AD
-
AB
，
DC
=
AC
-
AD
，又
DC
=2
BD
，即可得出；
（2）由于|
AB
|：|
AD
|：|
AC
|=3：k：1，不妨取|
AB
|=3，|
AD
|=k，|
AC
|=1，設∠BAC=θ．由（1）可得：k2=|
AD
|2=
1
9
AC
2+
4
9
AB
2+
4
9
AC
•
AB
=
37+12cosθ
9
，再利用-1＜cosθ＜1即可得出．
解答： 解：（1）∵
BD
=
AD
-
AB
，
DC
=
AC
-
AD
，
DC
=2
BD
，
∴
AC
-
AD
=2(
AD
-
AB
)，化為
AD
=
1
3
AC
+
2
3
AB
．
（2）∵|
AB
|：|
AD
|：|
AC
|=3：k：1，∴不妨取|
AB
|=3，|
AD
|=k，|
AC
|=1，
設∠BAC=θ．
由（1）可得：k2=|
AD
|2=
1
9
AC
2+
4
9
AB
2+
4
9
AC
•
AB
=
1
9
+
4
9
×32+
4
9
×1×3cosθ=
37+12cosθ
9
，
由于-1＜cosθ＜1，
∴
25
9
＜
37+12cosθ
9
＜
49
9
，
∴
5
3
＜k＜
7
3
．
∴實數(shù)k的取值范圍是(
5
3
，
7
3
)．
點評：本題考查了向量的三角形法則、數(shù)乘運算、數(shù)量積的性質、余弦函數(shù)的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
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3
3
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．

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