Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求C的方程；

（2）若直線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，l與圓x2+y2＝6交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2．試判斷k1k2是否為定值，若是，求出該定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）k1k2為定值．

【解析】

（1）由題意可得關(guān)于a，b，c的方程組，求解a，b，c的值，即可得到橢圓的方程；

（2）①當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝±2，求得，②當(dāng)過(guò)P的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx+m，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式等于0可得m2＝4k2+2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合斜率公式可得為定值．

（1）由題意，得，

解得.

∴橢圓C的方程為.

（2）k1k2為定值

理由如下：

①當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝±2；

當(dāng)x＝2時(shí)，，則，

當(dāng)時(shí)，，則.

②當(dāng)過(guò)P的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

聯(lián)立，得

由題意，得，

聯(lián)立，得

則

所以

綜上，為定值．