Question

設函數f（x）=[x]-1，x∈（0，+∞）（其中[x]表示不超過x的最大整數，如[

1

3

]=0，[

6

3

]=1，[2]=2），則方程f（x）-log₂x=0的根的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、無數個

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：由方程f（x）-log₂x=0，得程f（x）=log₂x，然后根據定義分別討論f（x）的表達式，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：由方程f（x）-log₂x=0，得程f（x）=log₂x，
當0＜x＜1，[x]=0，則f（x）=[x]-1=-1，此時log₂x＜0，由f（x）=log₂x=-1，解得x=

1

2

，
當1≤x＜2，[x]=1，則f（x）=[x]-1=1-1=0，由f（x）=log₂x=0，解得x=1，滿足條件，
當2≤x＜3，[x]=2，則f（x）=[x]-1=2-1=1，由f（x）=log₂x=1，解得x=2，滿足條件，
當3≤x＜4，[x]=3，則f（x）=[x]-1=3-1=2，由f（x）=log₂x=2，解得x=4，不滿足條件，
當4≤x＜5，[x]=4，則f（x）=[x]-1=4-1=3，此時log₂x＜3，此時方程無解，不滿足條件，
…
當n≤x＜n+1，（n≥5），[x]=，n，則f（x）=[x]-1=n-1=3，此時方程無解，不滿足條件，
故方程f（x）-log₂x=0的根的個數是3個．
故選：C

點評：本題主要考查方程根的個數以及[x]的應用，利用分段函數求出f（x）的表達式，以及利用數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強．