Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，E為AD上的點，EF⊥BC，垂足為F，沿EF將矩形ABFE折起，使二面角A-EF-C的大小為60°，連結AD，AC，BC．
（Ⅰ）若M為FC的中點，求證：AC∥平面BEM；
（Ⅱ）求直線CD與平面ABFE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結AF交BE于N，連結MN，由已知得MN∥AC，由此能證明AC∥平面BEM．
（Ⅱ）過E作EG∥DC交FC于G，則直線CD與平面ABFE所成角就是EG與平面ABFE所成角，由此能求出直線CD與平面ABFE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結AF交BE于N，連結MN，
則N是AF的中點，又因為M為FC的中點，
則MN∥AC，
因為MN?平面BEM，AC?平面BEM，
所以AC∥平面BEM．

（Ⅱ）解：過E作EG∥DC交FC于G，
則直線CD與平面ABFE所成角就是EG與平面ABFE所成角，
過G作GH⊥BF于H，連結EH，
因為EF⊥BF，EF⊥CF，BF∩CF=F，
所以，∠BFC=60°，EF⊥平面BFC，
又GH?平面BFC，所以EF⊥GH，則GH⊥平面AEFB，
故∠GEH就是EG與平面ABFE所成角，
在直角△EFG中，EG=

2

FG，
在直角△HFG中，GH=

3

2

FG，即GH=

6

4

EG，
在直角△EGH中，sin∠GEH=

GH

EG

=

6

4

，
即直線CD與平面ABFE所成角的正弦值為

6

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、二面角的求解等基礎知識和空間向量的立體幾何中的應用，意在考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．