Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值,求曲線在點處的切線方程;

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（Ⅲ）設(shè)若對恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，先利用求得值，再利用導數(shù)的幾何意義求其切線方程；（Ⅱ）求導，通過討論二次方程的兩根的大小關(guān)系進行求解；（Ⅲ）分離參數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再通過求導進行處理.

試題解析：（Ⅰ）由得或（舍去）

經(jīng)檢驗,當時,函數(shù)在處取得極值.

時,

則

所以所求的切線方程為 整理得.

綜上所述,曲線在點 處的切線方程為

（Ⅱ）定義域為,

令得或,則且

①當時, 此時在上單調(diào)遞增;

②當時, 在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；

③當時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

綜上所述,當時, 在上單調(diào)遞增；當時, 在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

（Ⅲ）由題意, ,即,

即對任意恒成立,令則

令則即在上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增,

當時取得最小值

解得

又的取值范圍為

綜上所述,實數(shù)的取值范圍為