Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a∈[

1

2

，

3

4

]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為M，最小值為m，求M-m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對于含參數(shù)的函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間的求法，需要進行分類討論，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出f（x）在[1，2a]內(nèi)是減函數(shù)，在[2a，2]內(nèi)是增函數(shù)，設(shè) g（a）=4a³-12a+8，求出g（a）在[

1

2

，

3

4

]內(nèi)是減函數(shù)，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），令f'（x）=0，則x₁=0，x₂=2a，
（1）當(dāng)a＞0時，0＜2a，當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）和（2a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間（0，2a）內(nèi)是減函數(shù)．
（2）當(dāng)a＜0時，2a＜0，當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，2a）	2a	（2a，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2a）和（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間（2a，0）內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅱ）由

1

2

≤a≤

3

4

及（Ⅰ），f（x）在[1，2a]內(nèi)是減函數(shù)，在[2a，2]內(nèi)是增函數(shù)，
又f（2）-f（1）=（8-12a+b）-（1-3a+b）=7-9a＞0，
∴M=f（2），m=f（2a）=8a³-12a³+b=b-4a³，
∴M-m=（8-12a+b）-（b-4a³）=4a³-12a+8，
設(shè) g（a）=4a³-12a+8，
∴g'（a）=12a²-12=12（a+1）（a-1）＜0（a∈[

1

2

，

3

4

]），
∴g（a）在[

1

2

，

3

4

]內(nèi)是減函數(shù)，
故 g（a）_max=g（

1

2

）=2+

1

2

=

5

2

，g（a）_min=g（

3

4

）=-1+4×

33

42

=

11

16

．
∴

11

16

≤M-m≤

5

2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性，涉及構(gòu)造函數(shù)的方法，屬中檔題．