Question

點P是圓M：（x+1）²+y²=16上一點，點F（1，0），線段PF的垂直平分線和圓M的半徑MP相交于點Q．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡C的方程；
（2）若直線x=my-1交軌跡C于A、B兩點，求△ABF面積的最大值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）連結QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，故Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓，從而可求動點Q的軌跡Γ的方程；
（2）x=my-1，代入橢圓方程消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，S_△ABF=

1

2

•2c•|y₁-y₂|，由韋達定理即可用m表示出面積，換元后根據(jù)函數(shù)單調性即可求得面積的最大值．

解答： 解：（1）連結QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，
則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，
故Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓，a=2，c=1，
所以b=

3

，
所以點Q的軌跡Γ的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=

-9

3m2+4

，
∴S_△ABF=

1

2

•2c•|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

令t=

m2+1

，則t≥1，S_△ABF=

12

3t+ 1 t

，
∵t≥1，
∴（3t+

1

t

）′=3-

1

t2

＞0，
∴3t+

1

t

遞增，
∴（3t+

1

t

）_min═3×1+1=4，當t=1即m=0時取等號，
∴△ABF面積的最大值為3．

點評：本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與圓，直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．