Question

7．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+3，x∈N^*，在x=5時(shí)取到最小值，則實(shí)數(shù)a的所有取值的集合為[20，30]．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最小值，由題意可得x取離$\sqrt{a}$最近的正整數(shù)使f（x）達(dá)到最小，得到，f（5）≤f（6），f（4）≥f（5），解得即可．

解答 解：∵f（x）=x+$\frac{a}{x}$+3，x∈N^*，
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，最小值為f（x）_min=f（1）=4+a，不滿(mǎn)足題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$，
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{a}$時(shí)，即f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞$\sqrt{a}$時(shí)，即f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)取最小值，
∵x∈N^*，
∴x取離$\sqrt{a}$最近的正整數(shù)使f（x）達(dá)到最小，
∵x=5時(shí)取到最小值，
∴5＜$\sqrt{a}$＜6，或4＜$\sqrt{a}$≤5
∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），
∴4+$\frac{a}{4}$+3≥5+$\frac{a}{5}$+3且5+$\frac{a}{5}$+3≤6+$\frac{a}{6}$+3
解得20≤a≤30
故答案為：[20，30]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題