Question

下列命題：
①若區(qū)間D內(nèi)存在實(shí)數(shù)x使得f（x+1）＞f（x），則y=f（x）在D上是增函數(shù)；
②y=-

1

x

在定義域內(nèi)是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=

1-x2

|x+1|-1

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R）； 
⑤函數(shù)y=f（x+2）圖象與函數(shù)y=f（2-x）圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①區(qū)間D內(nèi)存在實(shí)數(shù)x使得f（x+1）＞f（x）時(shí)，y=f（x）在D上不一定是增函數(shù)；
②y=-

1

x

在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上是增函數(shù)，在定義域上不具有單調(diào)性；
③函數(shù)f（x）是定義域上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)f（x）=0，但不一定x∈R；
⑤函數(shù)y=f（x+2）圖象與函數(shù)y=f（2-x）圖象不一定關(guān)于直線x=2對(duì)稱．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)區(qū)間D內(nèi)存在實(shí)數(shù)x使得f（x+1）＞f（x）時(shí)，y=f（x）在D上不一定是增函數(shù)，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，y=-

1

x

在區(qū)間（-∞，0），和（0，+∞）上是增函數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵函數(shù)f（x）=

1-x2

|x+1|-1

，
∴

1-x2≥0 |x+1|-1≠0

，
解得-1≤x≤1且x≠0，
∴函數(shù)f（x）=

1-x2

|x+1|-1

的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1，且x≠0}，
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴x+1≥0，∴|x+1|=x+1，
∴f（x）=

1-x2

x

；
∴f（-x）=-

1-x2

x

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，③正確；
對(duì)于④，若y=f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f（x）=0，但不一定x∈R，
只要定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可，∴④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，函數(shù)y=f（x+2）圖象與函數(shù)y=f（2-x）圖象不一定關(guān)于直線x=2對(duì)稱，如y=sinx，∴⑤錯(cuò)誤．
綜上，正確的說法是③．
故答案為：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，以便得出正確的結(jié)果，是中檔題．