【題目】已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG與平面所成銳二面角的大��；

（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析 （Ⅱ）（Ⅲ）不存在，見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面的法向量，和平面的法向量，從而得到平面與平面所成銳二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）線段上存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，直線與平面法向量的夾角為，設(shè)，，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，證明方程無(wú)解，從而得到不存在滿(mǎn)足要求的點(diǎn).

（Ⅰ）證明:因?yàn)椤?/span>是正三角形，

是的中點(diǎn)，

所以 .

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以.

，平面，

所以面.

（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，

，，

設(shè)平面的法向量為

所以，即

令，則 ，

又平面的法向量，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

所以.

所以平面與平面所成銳二面角為.

（Ⅲ）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，

使得直線與平面所成角為，

即直線與平面法向量所成的角為，

設(shè)，，

，

所以

所以，

整理得，

，方程無(wú)解，

所以，不存在這樣的點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，在，實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培訓(xùn)該品種花苗．為觀測(cè)其生長(zhǎng)情況，分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分，將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評(píng)分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．

（Ⅰ）求圖中的值；

（Ⅱ）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，若在，兩塊試驗(yàn)地隨機(jī)抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)．

優(yōu)質(zhì)花苗

非優(yōu)質(zhì)花苗

合計(jì)

甲培育法

20

乙培育法

10

合計(jì)

附：下面的臨界值表僅供參考．

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

<>0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中．）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司在2019年新研發(fā)了一種設(shè)備，為測(cè)試其性能，從設(shè)備生產(chǎn)的流水線上隨機(jī)抽取30件零件作為樣本，測(cè)量其重量后，得到下表的相關(guān)數(shù)據(jù).為了評(píng)判某臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其重量為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率）：①；②；評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿(mǎn)足上述兩個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為；僅滿(mǎn)足其中一個(gè)，則等級(jí)為；若全部不滿(mǎn)足，則等級(jí)為.

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.

重量/

18

19

21

22

23

24

26

28

29

30

件數(shù)/個(gè)

1

1

2

2

6

8

5

2

1

2

（1）試判斷設(shè)備的性能等級(jí)；

（2）若或的零件認(rèn)為是次品，其余為非次品.設(shè)30個(gè)樣本中次品個(gè)數(shù)為，現(xiàn)需要從中取出全部次品和2件非次品形成個(gè)小樣本，該公司從該小樣本中機(jī)抽取2件零件，求取出的兩件零件中恰有一件是次品的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知．

（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間：

（2）時(shí)，求證：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）記，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的情況；

（2）若有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則=

A.B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直,,,.

（1）求證:平面;

（2）當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí),直線與平面所成角的大小為45°?

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.已知，其中為原點(diǎn)， 為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程及離心率的值；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若，且，求直線的斜率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

（1）求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；

（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差。

（i）若某用戶(hù)從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了10件這種產(chǎn)品，記表示這10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于（187.4，225.2）的產(chǎn)品件數(shù)，求；

（ii）一天內(nèi)抽取的產(chǎn)品中，若出現(xiàn)了質(zhì)量指標(biāo)值在之外的產(chǎn)品，就認(rèn)為這一天的生產(chǎn)過(guò)程中可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查下。下面的莖葉圖是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的15個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)近似值判斷是否需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。

附：，，，

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案