Question

已知F是拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，若定點(diǎn)A（-1，0），則

|PF|

|PA|

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：函數(shù)思想,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的定義，范圍得出

|PF|

|PA|

=

|x+1|

(x+1)2+y2

=

|x+1|

(x+1)2+4(x+1)-4

=

1

- 4 (x+1)2 + 4 (x+1) +1

，再利用換元法轉(zhuǎn)化為

|PF|

|PA|

=

1

-4t2+4t+1

，0＜t≤1，二次函數(shù)求解．

解答： 解：設(shè)P（x，y），則y=4x，
∵定點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（1，0），
∴

|PF|

|PA|

=

|x+1|

(x+1)2+y2

=

|x+1|

(x+1)2+4(x+1)-4

=

1

- 4 (x+1)2 + 4 (x+1) +1

設(shè)t=

1

(x+1)

，x≥0，0＜t≤1，
∴

|PF|

|PA|

=

1

-4t2+4t+1

，0＜t≤1，
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，g（t）=-4t²+4t+1最大值為2，
∴

1

-4t2+4t+1

最小值為

2

2

．

故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了拋物線的定義，換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)求解，屬于中檔題．