Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D為斜邊AB的中點(diǎn)．將△BCD沿直線CD翻折．若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意得，AD=CD=BD═

x2+1

2

，BC=x，取BC中點(diǎn)E，翻折前，DE=

1

2

，AC=

1

2

，翻折后，CB⊥AD，BC⊥AE，DE⊥BC，AB=AC=1，AE=

1- 1 4 x2

，AD=

x2+1

2

，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：由題意得，AD=CD=BD═

x2+1

2

，BC=x，取BC中點(diǎn)E，翻折前，在圖1中，連接DE，CD，則DE=

1

2

，AC=

1

2

，
翻折后，在圖2中，此時(shí) CB⊥AD．
∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，
∴BC⊥AE，DE⊥BC，
又BC⊥AE，E為BC中點(diǎn)，∴AB=AC=1，
∴AE=

1- 1 4 x2

，AD=

x2+1

2

，
在△ADE中：①

x2+1

2

+

1

2

＞

1- 1 4 x2

，②

x2+1

2

＜

1

2

+

1- 1 4 x2

，③x＞0，
由①②③，得0＜x＜

3

．
如圖3，翻折后，當(dāng)△B1CD與△ACD在一個(gè)平面上，
AD與B₁C交于M，且AD⊥B1C，AD=B₁D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B₁CD，
又∠CBD+∠BCD+∠B₁CD=90°，
∴∠CBD=∠BCD=∠B₁CD=30°，
∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此時(shí)x=1×

3

=

3

，
綜上，x的取值范圍為（0，

3

]．
故答案為：（0，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．