Question

已知數列{a_n}中，a₁=-1，且（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差數列．
（1）設b_n=（n+1）a_n-n+2，求證：數列{b_n}是等比數列．（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差數列可知（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，把這一關系式代入

bn+1

bn

中，進而可推知

bn+1

bn

=

1

2

，進而可證明數列{b_n}是等比數列
（2）根據（1）中數列{b_n}是等比數列可求得數列{b_n}的通項公式，依據b_n=（n+1）a_n-n+2，進而可求{a_n}的通項公式．

解答：（1）證明：由已知得（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，
∵b₁=2a₁-1+2=-1，
∴

bn+1

bn

=

(n+2)an+1- (n+1)+2

(n+1)an- n+2

=

1 2 (n+1)an+ n 2 -(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an- n 2 +1

(n+1)an-n+2

=

1

2

∴數列{b_n}是等比數列
（2）由（1）得b_n=-（

1

2

）^n-1，即（n+1）a_n-n+2
=-（

1

2

）^n-1．
∴a_n=-

1

n+1

（

1

2

）^n-1+

n-2

n+1

．

點評：本題主要考查了等比關系的確定．判定的關鍵是看數列的每一項與前一項的比為同一個常數．