Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=2時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，，當(dāng)x＞0時(shí)，，可用導(dǎo)數(shù)判單調(diào)性；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞x-1??，轉(zhuǎn)化為求的最大值問題
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞x-1?，即，轉(zhuǎn)化為求的最小值，可用導(dǎo)數(shù)求解．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190438752400439/SYS201310241904387524004018_DA/9.png">，所以f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＞0時(shí)，，，由f′（x）＞0，解得，由f′（x）＜0，解得，
所以f（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
綜上，f（x）增區(qū)間為（-∞，0）和，減區(qū)間為．
（Ⅱ）當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）＞x-1，得，即，
設(shè)，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)），
所以當(dāng)x=-1時(shí)，g（x）有最大值-3，
因?yàn)閷?duì)任何x＜0，不等式恒成立，所以a＞-3；
當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）＞x-1，得，即，
設(shè)，則，
所以當(dāng)，即時(shí)，h（x）有最小值，
因?yàn)閷?duì)任何x＞0，不等式恒成立，所以．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性判斷、已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，綜合性強(qiáng)，難度較大．