如圖：已知直線與拋物線y2=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為（2，1）．
（1）求p的值；
（2）求△AOB的面積．
解（1）∵OD⊥AB，∴kOD•kAB=-1．
又kOD=
1
2
，∴kAB=-2，
∴直線AB的方程為y=-2x+5．…．…（1分）
設(shè)A（x1，x2），B（x2，y2），則
由OA⊥OB⇒
OA
•
OB
=0⇒x1x2+y1y2=0…．…（2分）
又x1x2+y1y2=x1x2+（-2x1+5）（-2x2+5）=5x1x2-10（x1+x2）+25
聯(lián)立方程
y2=2px
y=-2x+5
消y可得4x2-（20+2p）x+25=0①
∴x1+x2=
10+p
2
，x1x2=
25
4
…．（3分）
∴x1x2+y1y2=5×
25
4
-10×
10+p
2
+25=
5
4
-p，
∴p=
5
4

當p=
5
4
時，方程①成為8x2-45x+50=0顯然此方程有解．
∴p=
5
4
…．…（5分）
（2）由|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
5×[(
15
8
)2-25]
=
5
85
8
．…（7分）
∵|OD|=
5
．…（8分）
∴S△AOB=
1
2
|AB|•|OD|=
1
2
×
5
×
5
85
8
=
25
17
16
…．…（10分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知
a
=(2mx，y-1)，
b
=(2x，y+1)，其中m∈R，
a
⊥
b
，動點M（x，y）的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程，并說明該軌跡方程所表示曲線的形狀；
（2）當m=
1
8
時，設(shè)過定點P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

點P在直線l：y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于A，B兩點，且
PA
=
AB
，則稱點P為“λ點”，那么直線l上有______個“λ點”．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線C上點M的橫坐標為2，且|MF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點，求四邊形MPNQ面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓C上的點（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求弦長|PQ|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若θ是任意實數(shù)，則方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲線一定不是（　�。�
A．圓B．雙曲線C．直線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線L：y=kx+1與橢圓C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B兩點，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標原點）．
（1）若k=1，且四邊形OAPB為矩形，求a的值；
（2）若a=2，當k變化時（k∈R），求點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在以點O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中心，P為半圓弧上一點，且AB=4，∠POB=30°，雙曲線C以A，B為焦點且經(jīng)過點P．
（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担箅p曲線C的方程；
（2）設(shè)過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，若△OEF的面積不小于2
2
，求直線l的斜率的取值范圍．

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同步練習冊答案