Question

已知函數(shù)f（x）=

lgx，x＞0 -lg(-x)，x＜0

，g（x）=（

1

2

） ax2+bx（a≠0）．若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，坐標(biāo)從左至右記為（x₁，y₁），（x₂，y₂），給出下列命題正確的是（　　）

• A、若a＞0，則x₁+x₂＜0，y₁-y₂＞0
• B、若a＜0，則x₁+x₂＞0，y₁-y₂＞0
• C、若a＜0，則x₁+x₂＜0，y₁-y₂符號(hào)無(wú)法確定
• D、若a＜0，則x₁+x₂＞0，y₁-y₂符號(hào)無(wú)法確定

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的奇偶性，以及f（x）的對(duì)稱(chēng)性，即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖（紅色曲線），
若a＞0，二次函數(shù)y=ax²+bx先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，
則g（x）先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x＞0時(shí)不一定有交點(diǎn)，故此時(shí)無(wú)法判斷．
若a＜0，二次函數(shù)y=ax²+bx先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增則g（x）先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴B（x₂，y₂），
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C（-x₂，-y₂）在函數(shù)f（x）的圖象上，
由圖象可知A（x₁，y₁）高于C（-x₂，-y₂）點(diǎn)，
∴-x₂＜x₁，-y₂＜y₁，
即x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0，而y₁-y₂符號(hào)無(wú)法確定，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)和方程的應(yīng)用，利用奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．