如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行
四邊形,DC平面ABC ,
,已知AE與平面ABC所成的角為
,
且.
(1)證明:平面ACD平面
;
(2)記,
表示三棱錐A-CBE的體積,求
的表達式;
(3)當(dāng)
取得最大值時,求二面角D-AB-C的大小.
解:(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形 ∴,
---------1分
∵ DC平面ABC ,
平面ABC ∴
. ----------2分
∵AB是圓O的直徑 ∴且
∴平面ADC. ∵DE//BC
∴
平面ADC -------------3分
又∵平面ADE ∴平面ACD
平面
----------------4分
(2)∵ DC平面ABC ∴
平面ABC
∴為AE與平面ABC所成的角,即
=
-------------------5分
在Rt△ABE中,由,
得
------------6分
在Rt△ABC中 ∵(
)
∴-----------------7分
∴(
)----8分
(3)由(2)知
要取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)
取得最大值,
∵---------------------------------------9分
當(dāng)且僅當(dāng),即
時,“=”成立,
∴當(dāng)取得最大值時
,這時△ACB為等腰直角三角形----------10分
解法1:連結(jié)CO,DO
∵AC=BC,DC=DC
∴≌
∴AD=DB
又∵O為AB的中點 ∴
∴為二面角D-AB-C的平面角------------11分
在中 ∵
,
∴,
∴
=
即當(dāng)取得最大值時,二面角D-AB-C為60°.---------12分
解法2:以點O為坐標(biāo)原定,OB為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示:
則B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,1,
),
∴
,
平面ABC的法向量,-------11分
設(shè)平面ABD的法向量為
由得
令,則
∴
----12分
設(shè)二面角D-AB-C的大小為,則
∴,即二面角D-AB-C的大小為60°.---------12分
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